Question

抛物线y=

1

2

x²-kx+

5

2

与x轴的正方向相交于点A、B，顶点为C，若△ABC为等腰直角三角形，求k值及AB的长．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：令y=0，得到关于x的一元二次方程，求出两根之和与两根之积表达式，然后求出AB的距离，求出函数的顶点坐标，利用等腰直角三角形的性质，令顶点纵坐标的绝对值等于AB的一半即可得到关于k的方程，通过解方程求得k的值．

解答：解：设A、B的坐标为（x₁，0），（x₂，0），
由

1

2

x²-kx+

5

2

=0，有x₁+x₂=2k，x₁•x₂=5，
∴|AB|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

4k2-20

=2

k2-5

，
又∵-

b

2a

=k，

4ac-b2

4a

=

5-k2

2

，
∴顶点C的坐标为（k，

5-k2

2

），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴|

5-k2

2

|=

1

2

|AB|=

1

2

×2

k2-5

，
∴k=±

7

．
则AB=2

2

，
综上所述，k值是±

7

，AB的长度是2

2

．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与方程的关系、等腰直角三角形的性质、二次函数的最值等，要综合分析，认真解答．