Question

20．已知抛物线y=ax²-2ax与直线l：y=ax（a＞0）的交点除了原点外，还相交于另一点A．
（1）分别求出这个抛物线的顶点，点A的坐标（可用含a的式子表示）；
（2）将抛物线y=ax²-2ax沿着x轴对折（旋转180°）后，得到的图象叫做“新抛物线”，当a=1时，求这个“新抛物线”的解析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线l上．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，即可求得这个抛物线的顶点坐标，又由y=ax²-2ax与y=ax（a＞0）可得抛物线和直线的交点坐标为（0，0）、（3，3a），即可求得点A的坐标；
（2）存在．首先求得原抛物线为y=x²-2x，可得新抛物线为y=-x²+2x，直线l：x-y=0．把新抛物线的顶点坐标代入直线l进行验证即可．

解答 解：（1）∵y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-a），
由y=ax²-2ax与y=ax（a＞0）可得抛物线和直线的交点坐标为（0，0）、（3，3a），
∴A点坐标为（3，3a）；

（2）∴当a=1时，A坐标为（3，3），
∴OA=3$\sqrt{2}$，
∴原抛物线为y=x²-2x，则新抛物线为y=-x²+2x=-（x-1）²+1，其顶点坐标是（1，1）．
把点（1，1）直线l：y=x，得
1=1．
即这个“新抛物线”的顶点在直线l上．

点评 此题考查了二次函数的顶点坐标的求法，二次函数与一次函数的交点坐标问题，以及线段的长的求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，注意解题的关键是方程思想的应用．