Question

【题目】如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.

（1）求证：PA是⊙O的切线;

（2）若tan∠BAD=， 且OC=4，求PB的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）PB=3

【解析】

（1）通过证明△PAO≌△PBO可得结论；

（2）根据tan∠BAD=，且OC=4，可求出AC=6，再证得△PAC∽△AOC，最后利用相似三角形的性质以及勾股定理求得答案．

解：（1）连结OB，则OA=OB，如图1，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵ ，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠PBO=∠PAO，

∵PB为⊙O的切线，B为切点，

∴PB⊥OB，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO=，且OC=4，

∴AC=6，则BC=6，

∴，

在Rt△APO中，AC⊥OP，

易得△PAC∽△AOC，

∴，即AC2=OCPC，

∴PC=9，

∴OP=PC+OC=13，

在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=．