Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，点 C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与 菱形 OABC 的两边分别交与点 M、N（点 M 在点 N 的上方）．

（1）求 A、B 两点的坐标；

（2）设 OMN 的面积为 S，直线 l 运动时间为 t 秒（0 ≤t ≤6 ），试求 S 与 t 的函数表达 式；

（3）在题（2）的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少．

Answer 1

【答案】（1）A(2,)，B(6,)；（2）当时，；当，；当时，；（3）秒时，．

【解析】

（1）根菱形性质得出OA=AB=BC=CO=4，过A作AD⊥OC于D，求出AD、OD，即可得出答案；

（2）依题意可分为三种情况：①当0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交，②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交，③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交，画出图形求出即可；

（3）根据（2）中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出S的最大值及对应的t的值．

解：（1）∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，

∴

过点A作于D.

∵

∴,

∴A(2,)，B(6,).

（2）∵，

∴，

直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：

①当时，直线l与直线OA，OC两边相交，

∴，

则；

②当时，直线l与AB、OC两边相交，

则；

③当时，直线l与AB、BC两边相交，

设直线l与x轴相交于H点，

∵，

∴；

综上所述：，

（3）由（2）知，当时，；

当时，；

∵的对称轴为，

∴函数，当时，S随的增大而减小，

即时，S取得最大值：，

综上所述，当秒时，．