Question

3．如图1，正方形ADEF的顶点D、F在等腰直角△ABC的边AB、AC上，正方形ADEF以点A为旋转中心逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD、CF，在旋转过程中：
（1）利用图2，求证：BD=CF；
（2）如图3，延长BD交CF于点G．
 ①求证：C，G，A，B四点在同一个圆上；
 ②若AB=4，AD=$\sqrt{2}$，α=45°，求线段CG的长．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证明△AFC≌△ADB可得结论；
（2）①如图3，易证：BG⊥CF，所以Rt△ABC的外接圆同时也是△BCG的外接圆，即C，G，A，B四点在同一个圆上；
②如图4，作辅助线，构建直角三角形，得等腰直角三角形ADM，求出AM=1，MB=3，BD=$\sqrt{10}$，利用同角的三角函数还可以依次求AH、CH、CG的长．

解答 证明：（1）如图2，由旋转得：∠DAB=∠FAC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AF=AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，
∴△AFC≌△ADB，
∴BD=FC；
（2）如图3，同理可得：△ADB≌△AFC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠CAB=90°，
∴∠ACB+∠ABD+∠CBG=90°，
∴∠ACB+∠ACF+∠CBG=90°，
∴∠BGC=90°，
∴∠BGC=∠BAC=90°，
∴C，G，A，B四点在同一个圆上，
②如图4，过D作DM⊥AB于点M，
∵∠DAB=45°，
∴△ADM等腰直角三角形，
∵AD=$\sqrt{2}$，
∴AM=DM=1，
∵AB=4，
∴BM=AB-AM=4-1=3，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在Rt△AHB中，tan∠ABH=$\frac{DM}{BM}=\frac{AH}{AB}$，
∴$\frac{1}{3}=\frac{AH}{4}$，
∴AH=$\frac{4}{3}$，
∴CH=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∵∠ABD=∠ACF，
∴cos∠ABD=cos∠ACF，
∵BG⊥FC，
∴△HGC是直角三角形，
∴$\frac{CG}{CH}=\frac{BM}{BD}$，
∴$\frac{CG}{\frac{8}{3}}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∴CG=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定、正方形的性质及旋转的性质等，利用的知识点较多，但难度不大；主要运用全等三角形的性质和判定解决问题，因此熟练掌握三角形全等的判定是本题的关键．