题目内容

如图，P为△ABC的边BC上的任意一点，设BC=a，
当B₁、C₁分别为AB、AC的中点时，B₁C₁= $数学公式$ ，
当B₂、C₂分别为BB₁、CC₁的中点时，B₂C₂= $数学公式$ ，
当B₃、C₃分别为BB₂、CC₂的中点时，B₃C₃= $数学公式$ ，
当B₄、C₄分别为BB₃、CC₃的中点时，B₄C₄= $数学公式$ ，
当B₅、C₅分别为BB₄、CC₄的中点时，B₅C₅=________，
…
当B_n、C_n分别为BB_n-1、CC_n-1的中点时，则B_nC_n=________；
设△ABC中BC边上的高为h，则△PB_nC_n的面积为________（用含a、h的式子表示）．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ah
分析：设AB=b，则AB₁= $\text{[math]}$ b，AB₂=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）b= $\text{[math]}$ b，AB₃=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）b= $\text{[math]}$ b，由此可得AB₅=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）b= $\text{[math]}$ b，AB_n=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）b= $\text{[math]}$ b，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再利用三角形相似求B_nC_n及△PB_nC_n的面积．
解答：设AB=b，∵B₅C₅∥BC，∴△AB₅C₅∽△ABC，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
B₅C₅= $\text{[math]}$ •AB₅= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ b= $\text{[math]}$ a，
同理可得△AB_nC_n∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
B_nC_n= $\text{[math]}$ •AB_n= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ b= $\text{[math]}$ a，
设△AB_nC_n中B_nC_n边上的高为h_n，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即h_n= $\text{[math]}$ h，
∴S_△PBnCn= $\text{[math]}$ B_nC_n•（h-h_n）= $\text{[math]}$ ah．
故答案为： $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ ah．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质的运用．关键是由易到难，找出求边长和高的一般规律．