Question

12．（1）已知：如图①正方形ABCD，以AD，CD为一边向外作等边△ADE和等边△CDF，连BE，EF，FB．
①求证：△ABE≌△CFB；
②填空：△BEF是等边三角形．
（2）将（1）中条件正方形ABCD改为矩形ABCD，如图②，其他条件不变，那么题目中的两个结论还成立吗？若成立，证明：若不成，说明理由．
（3）将题目（1）条件中的正方形ABCD改为?ABCD，其他条件不变，那么（1）中的结论是否成立？画出图形，并结合图形写出相应结论，不必证明．

Answer 1

分析 （1）①利用SAS即可证明两三角形的全等；②再证明△ABE≌△DFE，可得△BEF是等边三角形；
（2）求出∠BAE，∠EDF，∠FCB的度数，继而证明△ABE≌△CFB≌△DFE，即可得出结论；
（3）证明方法与（2）完全相同，画出图形写出结论即可．

解答 ①证明：∠BAE=90°+60°=150°，∠FCB=90°+60°=150°，
在△ABE和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}\\{∠BAE=∠FCB}\\{AE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFB（SAS）．
②∠FDE=360°-60°-60°-90°=150°，
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=∠FDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴BE=FE，
又∵△ABE≌△CFB，
∴BE=FB=FE，
∴△BFE是等边三角形．

（2）∠BAE=90°+60°=150°，∠FCB=90°+60°=150°，∠FDE=360°-60°-60°-90°=150°，
在△ABE和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}\\{∠BAE=∠FCB}\\{AE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFB（SAS），
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=∠FDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴△ABE≌△CFB≌△DFE，
∴BE=EF=FB，
∴两结论成立．

（3）将题目（1）条件中的正方形ABCD改为?ABCD，
当平行四边形中有一个角是60°时，（1）的第一个结论中的两个三角形是不存在的；第二个结论依然成立；
当平行四边形中没有60°角时，（1）的两个结论依然成立．
如图：

点评 本题考查了四边形的综合，涉及了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键之处在于判断∠BAE=∠EDF=∠FCB，难度一般．