Question

7．阅读以下材料：在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；以二元一次方程2x-y+2=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+2的图象，它也是一条直线．不仅如此，在平面直角坐标系中，不等式x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它左侧的部分，如图①；不等式y≤2x+2也表示一个平面区域，即直线y=2x+2以及它下方的部分，如图②．而y=|x|既不表示一条直线，也不表示一个区域，它表示一条折线，如图③．

根据以上材料，回答下列问题：
（1）请直接写出图④表示的是y≥$\frac{1}{3}$x-2的平面区域；
（2）如果x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≤3\\ x+y≥0\\ x-y+5≥0\end{array}\right.$，请在图⑤中用阴影表示出点（x，y）所在的平面区域，并求出阴影部分的面积S₁；
（3）在平面直角坐标系中，若函数y=2|x-2|与y=x-m的图象围成一个平面区域，请直接用含m的式子表示该平面区域的面积S₂，并写出实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图中所给点的坐标可求得直线的解析式，且所表示的区域在直线的上方，可得出答案；
（2）根据题意可画出不等式组所表示的区域，联立直线可求得交点坐标，再根据坐标可求得三角形的底和高，可求出其面积；
（3）类比图③可画出类似函数y=2|x-2|与y=x-m的图象围成一个平面区域，同（2）一样可分别求得交点坐标，再表示出相应线段的长，可求出其面积，结合直线y=x-m最底过D点，可求出m的范围．

解答 解：（1）∵直线过（0，-2），（6，0），
∴这条直线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-2，且④所表示的区域在该直线的上方，
∴④表示的是y≥$\frac{1}{3}$x-2的平面区域．
故答案为：y≥$\frac{1}{3}$x-2；
（2）阴影表示的平面区域如图所示，
                
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，∴B（3，-3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5=0}\\{x=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=8}\end{array}\right.$，∴A为（3，8），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y+5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，∴C（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×[3-（-$\frac{5}{2}$）]×[8-（-3）]=$\frac{121}{4}$；
（3）函数y=2|x-2|与y=x-m的图象围成一个平面区域如图2所示，

则D为（2，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4-m}\\{y=4-2m}\end{array}\right.$，∴E为（4-m，4-2m），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4+m}{3}}\\{y=\frac{4-2m}{3}}\end{array}\right.$，∴F为（$\frac{4+m}{3}$，$\frac{4-2m}{3}$）
分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为N、M，
则NE=4-2m，FM=$\frac{4-2m}{3}$，DM=2-$\frac{4+m}{3}$=$\frac{2-m}{3}$，DN=4-m-2=2-m，MN=DM+DN=$\frac{2-m}{3}$+2-m=$\frac{4（2-m）}{3}$，
∴S₂=$\frac{1}{2}$（MF+NE）•MN-$\frac{1}{2}$MF•MD-$\frac{1}{2}$NE•DN=$\frac{2}{3}$（2-m）²，
又∵当直线y=x-m过D点时，m=2，
当直线向上平移时，才能围成一个封闭区域，
∴-m＞-2，解得m＜2．

点评 本题为阅读理解题，主要考查函数图象的交点、图形的面积等知识的综合应用．在（1）中正确理解题目中的平面区域是解题的关键，在（2）中根据题意正确画出区域所表示的图形是解题的关键，在（3）中正确画出y=2|x-2|的图象是解题的关键．在解题时注意对题目中所给区域的正确理解，考查了阅读所给材料理解新定义的能力，有一定的难度，注意数形结合．