Question

12．如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD=DC，AB=2$\sqrt{3}$，点E在⊙O上，∠EOA=30°，则△EOC的面积为1或2．

Answer 1

分析 设⊙O的半径为x（x＞0），则OD=DC=$\frac{1}{2}$x，根据垂径定理可知AD=$\sqrt{3}$，在Rt△ADO中利用勾股定理即可求出x值，再分点E在$\widehat{AC}$外和点E在$\widehat{AC}$上两种情况考虑△EOC的面积，当点E在$\widehat{AC}$外时，通过角的计算可得出∠COE=90°，利用三角形的面积公式即可求出S_△EOC的值；当点E在$\widehat{AC}$上时，过点E作EF⊥OC于点F，通过角的计算可得出∠COE=30°，由此可得出EF的长度，利用三角形的面积公式即可求出S_△EOC的值．综上即可得出结论．

解答 解：依照题意画出图形，连接OA．
设⊙O的半径为x（x＞0），则OD=DC=$\frac{1}{2}$x．
∵OC⊥AB于点D，
∴∠ADO=90°，AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$．
在Rt△ADO中，AO=x，OD=$\frac{1}{2}$x，AD=$\sqrt{3}$，
∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，AD=$\sqrt{A{O}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$，
解得：x=2．
当点E在$\widehat{AC}$外时，∠COE=∠AOD+∠EOA=90°，
∴S_△EOC=$\frac{1}{2}$EO•OC=2；
当点E在$\widehat{AC}$上时，过点E作EF⊥OC于点F，
∵∠COE=∠AOD-∠EOA=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$OE=1，
∴S_△EOC=$\frac{1}{2}$OC•EF=1．
综上可知：△EOC的面积为1或2．
故答案为：1或2．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角形的面积，分点E在$\widehat{AC}$外和点E在$\widehat{AC}$上两种情况考虑是解题的关键．