Question

如图，抛物线的顶点为H，与轴交于A、B两点（B点在A点右侧），点H、B关于直线：对称，过点B作直线BK∥AH交直线于K点．　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线上；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）求此抛物线的解析式；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）将此抛物线向上平移，当抛物线经过K点时，设顶点为N，求出NK的长．

Answer 1

A（﹣3，0），B（1，0）；；

试题分析：1）依题意，得，  ………1分
解得，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）．………2分
证明：∵直线：
当时，
∴点A在直线上．     ………3分
（２）∵点H、B关于过A点的直线：对称， 
∴ ………4分
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则，
∴顶点    ………5分
代入抛物线解析式，得
解得
∴抛物线解析式为  ………6分
（3）连结HK，可证得四边形HABK是平行四边形
∴HK∥AB,HK=AB
可求得K(3，2)，  ………８分
设向上平移K个单位，抛物线经过点K
∴+K
把K(3，2)代入得：K=8        ………９分
在Rt△NHK中，∵NK=8，HK="4" 由勾股定理得
NK的长是 
点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．