Question

如图，在平面直角坐标系中，等边中，BC∥轴，且BC=，顶点A在抛物线上运动．

（1）当顶点A运动至与原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？
（2）在运动过程中有可能被轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1:8（即）时，求顶点A的坐标；
（3）在运动过程中，当顶点B落在坐标轴上时，直接写出顶点C的坐标．

Answer 1

（1）在；（2）或；（3）、、

试题分析：（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，由BC∥x轴，BC=AC=，可得，，即可得到C点的坐标，再代入抛物线解析式即可作出判断；
（2）过点A作于点D，设点A的坐标为（，）．由根据相似三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可求得的长，即可求得结果；
（3）根据函数图象上的点的坐标的特征结合二次函数的性质求解即可．
（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D
∵BC∥x轴，BC=AC=，
∴，．
∴C点的坐标为．
∵当时，．
∴当顶点A运动至与原点重合时，顶点C在抛物线上；
（2）过点A作于点D，

设点A的坐标为（，）．
∵，
∴
∵等边的边长为，
∴．
∴．
∴，解得．
∴顶点A的坐标为或；
（3）当顶点B落在坐标轴上时，顶点C的坐标为、、．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.