Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点，且点在轴上，为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）若是第一象限内抛物线上的一个运动的点，点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，求当为何值时，线段的长最大？最大值是多少？并直接写出此时点的坐标；

（3）在（2）的条件下，当的长取得最大值时，在坐标平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；点的坐标为；（2）当时，的长最大，最大值是，；（3）存在，，，

【解析】

（1）根据直线方程得出A，C两点的坐标，再代入抛物线，即可求出解析式，再对解析式进行配方即可得出D点的坐标；

（2）用m表示出PQ的坐标，根据题意列出关于m的函数解析式，求解即可；

（3）需要分类讨论：①以PQ为边时，②以PQ为对角线时．

解：（1）由直线可知，，

把点和点代入中，得

解得：，

，

又∵，

点的坐标为；

（2）将y=0代入抛物线，

得B点坐标为（3，0），

∵有（1）得C点的坐标为，

∴可知的解析式是，

∴设，

当时，的长最大，最大值是，

；

（3）存在，在（2）的条件下P点的坐标为，Q点的坐标为，

①以PQ为边时，则AH∥PQ，即H点与A点的横坐标一致时，能让以为顶点的四边形是平行四边形，此时根据设H点的坐标为（-1，a）,

根据平行四边形的性质可得│AH│=│PQ│,即│a│-0=，

解得a=±，

∴此时H的坐标有两种情况：，，

②以PQ为对角线时，则有AQ∥PH，能让以为顶点的四边形是平行四边形，

此时设H点的坐标为（a，b），

根据图象和平行四边形的性质可得，

解得，

∴此时H的坐标为：，

综上符合题意的H点的坐标有：，，．