Question

【题目】如图，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，为直线下方抛物线上一点，连接，．

（1）求抛物线的解析式．

（2）的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点的坐标；如果没有，请说明理由．

（3）为轴右侧抛物线上一点，为对称轴上一点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为，点的坐标为；（3）点的坐标为，．

【解析】

（1）先设顶点式，再代入顶点坐标得出，最后代入计算出二次项系数即得；

（2）点的坐标为，先求出B、C两点，再用含m的式子表示出的面积，进而得出面积与m的二次函数关系，最后根据二次函数性质即得最值；

（3）分成Q点在对称轴的左侧和右侧两种情况，再分别根据和列出方程求解即得．

（1）设抛物线的解析式为．

∵顶点坐标为

∴．

∵将点代入，解得

∴抛物线的解析式为．

（2）如图1，过点作轴，垂足为，交于点．

∵将代入，解得，

∴点的坐标为．

∵将代入，解得

∴点C的坐标为

设直线的解析式为

∵点的坐标为，点的坐标为

∴，解得

∴直线的解析式为．

设点的坐标为，则点的坐标为

∴

过点作于点

∵

∴

故当时，的面积有最大值，最大值为

此时点的坐标为

（3）点的坐标为，．

分两种情况进行①如图2，过点作轴的平行线，分别交轴、对称轴于点，

设点的坐标为

∵

∴

∴在和中

∴

∴

∵，

∴

解得（舍去），

∴点的坐标为．

②如图3，过点，作轴的平行线，过点作轴的平行线，分别交，于点，．

设点的坐标

∵由①知

∴

∵，

∴

解得，（舍去)

∴点的坐标为

综上所述：点的坐标为或．