Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点，，点为边上一动点（不与端点重合），连接，作线段的垂直平分线交边于点，连接，过点作交于点．

（1）如图1，当点为线段AB的中点时，求线段的长；

（2）如图2，若正方形的周长为，的周长为，记，试证明为定值；

（3）在（2）的条件下，构造过点C的抛物线同时满足以下两个条件：

①；②当时，函数的最大值为，求二次项系数的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）二次项系数的值为或．

【解析】

（1）设，根据勾股定理列方程可得的值，从而得DE，AE的值，证明△AED∽△BDM，利用相似三角形的性质可得DM的长； （2）正方形OABC的周长为 ，设，表示，根据勾股定理建立之间的关系式，由（1）中的相似列比例式可表示BM ，DM ，计算△BMD的周长为，代入可求得m的值； （3）先利用与已知条件得到与的关系，写出抛物线的解析式，可得对称轴，将（2）中的m代入：得到3≤x≤7时，y有最大值，按开口方向分情况讨论可得结论．

解：（1）设，依题意有：，，，

在中，，解得．

∵ED⊥DM， ∴∠EDM=∠ADE+∠BDM=90°，

∵∠ADE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠EDM，

∵∠DAE=∠MBD=90°，

∴，

∴，即，

∴，即线段的长为．

（2）设，，则有，，

在中，，整理得：．

由可得：，

从而有：，可得，，

∴，

即，将代入，可得．

又∵，∴；∴为定值．

（3）∵抛物线经过，∴，

由，可得，

∴，其对称轴为．

由可知当时，函数的最大值为，

于是有：当时，当时有，此时；

当时，当时有，此时．

综上所述，二次项系数的值为或．