Question

18．已知点M（1，4），点A（-1，0），点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A、M、P，Q为顶点的四边形是矩形，画出符合条件的图形，并求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 分两种情形讨论①当AM是矩形的一条边时，如图1所示．②当AM是对角线时，AQ⊥MQ时，PQ与y轴重合，如图2所示，根据相似三角形或全等三角形的性质即可解决问题．

解答 解：∵点M（1，4），点A（-1，0），
∴AM=2$\sqrt{5}$，线段AM中点N（0，2），
∴AN=MN=$\sqrt{5}$，
①当AM是矩形的一条边时，分别过M、A作直线l₁⊥AM交y轴于P₁；l₂⊥AM交y轴于P₂，如图1所示．

过P₁作l₃∥AM交l₂于Q₁，过P₂作直线l₄交l₁于Q₂，作ME⊥y轴于E，MH⊥x轴于H，作Q₁F⊥x轴于F，Q₂G⊥MH于G，
则ON=EN=2，OA=ME，
∵∠P₁EM=∠MEN，∠MP₁E=∠EMN，
∴△P₁EM∽△MEN，
∴$\frac{{P}_{1}E}{ME}=\frac{ME}{EN}$，
∴$\frac{{P}_{1}E}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴P₁E=$\frac{1}{2}$，在△P₁EM和△Q₁FA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{P}_{1}EM=∠{Q}_{1}FA}\\{∠{P}_{1}ME=∠{Q}_{1}AF}\\{{P}_{1}M=A{Q}_{1}}\end{array}\right.$
∵△P₁EM≌△Q₁FA，
∴Q₁F=P₁E=$\frac{1}{2}$，AF=EM=1，
∴OF=OA+AF=2，
∴Q₁（-2，$\frac{1}{2}$），
同理△Q₂MG≌△AOP₂≌△AON，可得MG=OP₂=$\frac{1}{2}$，Q₂G=OA=1，
∴GH=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，∴Q₂（2，$\frac{7}{2}$），
②当AM是对角线时，AQ⊥MQ时，PQ与y轴重合，如图2所示，

∵AQ²+MQ²=AM²，设Q（0，m），
∴AQ²=m²+1，MQ²=（m-4）²+1²=m²-8m+17，
∴（m²+1）+（m²-8m+17）=20，
整理得m²-4m-1=0，解得m₁=2+$\sqrt{5}$，m₂=2-$\sqrt{5}$，
∴Q₃（0，2+$\sqrt{5}$），Q₄（0，2-$\sqrt{5}$）．
综上所述出点Q的坐标为：Q₁（-2，$\frac{1}{2}$），Q₂（2，$\frac{7}{2}$），Q₃（0，2+$\sqrt{5}$），Q₄（0，2-$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图形，综合性比较强，属于中考压轴题．