Question

已知二次方程x²+ax+b=0有两个连续的整数根，二次方程x²+bx+a=0有整数根，求a，b的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：

分析：可设x²+ax+b=0的两根为n，n+1（n是整数），则2n+1=-a，n（n+1）=b，则方程x²+bx+a=0可以改写为x²+n（n+1）x-（2n+1）=0①，分两种情况：（1）若n≥0，则方程①有一正一负两根；（2）若n≤-1，则方程①有两个负整数根；进行讨论即可得到a，b的值．

解答：解：设x²+ax+b=0的两根为n，n+1（n是整数），则2n+1=-a，n（n+1）=b，
则方程x²+bx+a=0可以改写为x²+n（n+1）x-（2n+1）=0①，
（1）若n≥0，则方程①有一正一负两根，
设其正整数根为m，则
m²+n（n+1）m-（2n+1）=0②，
即mn²+（m-2）n+（m²-1）=0，
∵n是整数，
∴△=（m-2）²-4m（m²-1）≥0，
整理为4m≤

4

m2

+1，
若m≥2，则上式不成立，故0＜m＜2，
则m=1，
将m=1代入方程②得n²-n=0，
解得n=0，1．
当n=0时，a=-1，b=0；
当n=1时，a=-3，b=2；
（2）若n≤-1，则方程①有两个负整数根，
即△=n²（n+1）²+4（2n+1）应为完全平方数，且为偶数，
由于n≤-1，则n²（n+1）²+4（2n+1）＜[n（n+1）]²，
故n²（n+1）²+4（2n+1）≤[n（n+1）-2]²，
因此n²+3n≤0，即n=-3，-2，-1，
经检验，n=-2，-1时，方程①无实根，
当n=-3时，方程①为x²+6x+5=0，
其两根为-1，-5，此时a=5，b=6，
综合（1）（2）可知，a，b的值为-1，0或-3，2或5，6．

点评：考查了一元二次方程的整数根和有理根，关键是设x²+ax+b=0的两根为n，n+1（n是整数），则2n+1=-a，n（n+1）=b，将方程x²+bx+a=0改写为x²+n（n+1）x-（2n+1）=0①，以及分类思想的应用．