Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD=EC，AE=DC，即可证到△DEC≌△EDA（SSS）；
（2）易证AF=CF，设DF=x，则有AF=4-x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC．
由折叠可得：EC=BC，AE=AB，
∴AD=EC，AE=DC，
在△ADE与△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{DE=ED}\\{DC=EA}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△EDA（SSS）．
（2）解：∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF，
设DF=x，则AF=CF=4-x，
在RT△ADF中，AD²+DF²=AF²，
即3²+x²=（4-x）²，
解得；x=$\frac{7}{8}$，
即DF=$\frac{7}{8}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、轴对称的性质等知识，解决本题的关键是明确折叠的性质，得到相等的线段，角．