Question

如图，在⊙O中，OA、OB是半径，且OA⊥OB，OA=6，点C是AB上异于A、B的动点．过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE．
（1）求证：四边形OGCH为平行四边形；
（2）①当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由；
②求CD²+CH²之值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先证明四边形OECD是矩形，得出OG=CH，同理可证OH=CG，得出四边形OGCH为平行四边形；
（2）①根据点C是AB上的点，OA=6，得出OC=OA=6，由DG=GH=HE，得出DG=ED=2；
②首先得出△DHF∽△DEC，进而得出，利用，从而得出CF=CD-FD=CD，再利用勾股定理得出CD²+CH²的值．
解答：（1）证明：如图，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC=90°
又∵∠AOB=90°，
∴四边形OECD是矩形．
∴OD=EC，且OD∥EC，
∴∠ODG=∠CEH
∵DG=EH，
∴△ODG≌△CEH，
∴OG=CH．
同理可证OH=CG
∴四边形OGCH为平行四边形；

（2）解：①线段DG的长度不变．
∵点C是AB上的点，OA=6．
∴OC=OA=6
∵四边形OECD是矩形，
∴ED=OC=6，
∵DG=GH=HE，
∴DG=ED=2；

②如图，过点H作HF⊥CD于点F，
∵EC⊥CD，
∴HF∥EC，
∴△DHF∽△DEC，
∴，
∴，
从而CF=CD-FD=CD
在Rt△CHF中，CH²=HF²+CF²=HF²+CD²
在Rt△HFD中，HF²=DH²-DF²=CD²，
∴CH²=CD²+CD²=16-CD²
∴．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和勾股定理等知识，根据已知得出CH²=CD²+CD²=16-CD²是解题关键．