Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒$\frac{5}{3}$个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据题意用t表示出CQ，AP，AD的长，再根据勾股定理得出PD的长，由S_{四边形BQPD}=S_△ABC-S_△CPQ-S_△APD即可得出t的值；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等即可得出结论．

解答 解：（1）∵由题意可得：CQ=2t，AP=t，AD=$\frac{5}{3}$t，
∴BQ=8-2t，CP=6-t．
又∵PD⊥AC，
∴PD=$\sqrt{{AP}^{2}-{AD}^{2}}$=$\frac{4}{3}$t．
∵S_{四边形BQPD}=S_△ABC-S_△CPQ-S_△APD，
∴24-（$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）+$\frac{1}{2}$t×$\frac{4}{3}$t）=12，（t-9）²=45，解得t=9±3$\sqrt{5}$，
t=9+3$\sqrt{5}$（不合题意，舍去），
∴当t=9-3$\sqrt{5}$时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；

（2）存在，t=2.4（秒）．
若四边形BQPD为平行四边形，则BQ与PD平行且相等，
即：$\frac{4}{3}$t=8-2t，
解得t=2.4．
答：存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形，此时t=2.4秒．

点评 本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的对边平行且相等是解答此题的关键．