Question

3．如图，平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连CE，点M、N为CE上两点，且BM∥DN．
（1）求证：BM=2DN；
（2）连DM并延长交AB于F，若BF=2AF，求$\frac{DM}{MF}$的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明BM=2DN，只需求得相似三角形△EDN∽△CBM的相似比即可；
（2）取BF、BM的中点H、Q，连接HQ、AQ，则HQ是三角形的中位线，所以MF=2QH，根据BF=2AF，得出AF=HF，得出PF是△AQH的中位线，得出QH=2PF，MF=2QH=4PF，PM=3PF，同理：求得DM=PM=3PF，即可求得$\frac{DM}{MF}$的值．

解答 （1）证明：∵点E为AD的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DEN=∠BCM，ED=$\frac{1}{2}$CB
又∵BM∥DN，
∴∠END=∠CMB，
∴△EDN∽△CBM，
∴$\frac{DN}{BM}=\frac{ED}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴BM=2DN；

﹙2﹚解：如图2，取BF、BM的中点，H、Q，连接HQ、AQ，
∵BQ=MQ，BH=HF，
∴QH∥DF，
∴MF=2QH，
∵BF=2AF，
∴AF=HF，
∴PF是△AQH的中位线，
∴QH=2PF，
∴MF=2QH=4PF，
∴PM=3PF，
同理：EM是△ADP的中位线，
∴DM=PM=3PF，
∴$\frac{DM}{MF}=\frac{3PF}{4PF}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．