Question

已知：关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是正整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）求方程的较大根．

Answer 1

考点：根的判别式,解一元二次方程-因式分解法

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△=（2k-1）²，然后根据非负数的性质即k的取值得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）根据求根公式求出方程的根，再根据k是正整数即可得出结论．

解答：（1）证明：k≠0，
△=[-（4k+1）]²-4k（3k+3）
=4k²-4k+1
=（2k-1）²，
∵k为不等于0的整数，
∴（2k-1）²＞0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．

（2）∵△=[-（4k+1）]²-4k（3k+3）=（2k-1）²，
∴x=

(4k+1)± (2k-1)2

2k

=

4k+1±(2k-1)

2k

，
∴x=3或x=1+

1

k

，
∵k是正整数，
∴

1

k

≤1，
∴1+

1

k

＜3，
∴方程的较大根是3．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．