Question

△ABC为⊙O的内接三角形，AD为BC边的高，AE为⊙O的直径．
（1）求证：∠BAE=∠DAC；
（2）若BD=8，CD=3，AD=6．求AE的长．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ABE=90°，又根据同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠E，即可证得△ABE∽△ADC，即可证得∠BAE=∠DAC；
（2）根据相似三角形的对应边成比例即可求得，注意勾股定理的应用．

解答：（1）证明：连接BE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD为BC边的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠C=∠E，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠BAE=∠DAC；

（2）解：∵△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∵BD=8，CD=3，AD=6，
∴AB=10，AC=3

5

，
∴AE=5

5

．

点评：此题考查了圆周角的性质（直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等）与相似三角形的判定与性质．注意圆中常见辅助线的作法：见直径构造直径所对的圆周角．