已知O是坐标原点.点A的坐标是(5.0).点B是y轴正半轴上一动点.以OB.OA为边作矩形OBCA.点E.H分别在边BC和边OA上.将△BOE沿着OE对折.使点B落在OC上的F点处.将△ACH沿着CH对折.使点A落在OC上的G点处．(1)如图1.求证:四边形OECH是平行四边形,(2)如图2.当点B运动到使得点F.G重合时.求点B的坐标.并判断四边形OECH是什么四边形?说明理由,(3)当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB、OA为边作矩形OBCA，点E、H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处．
（1）如图1，求证：四边形OECH是平行四边形；
（2）如图2，当点B运动到使得点F、G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由；
（3）当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，如图3，如图4，分别求点B的坐标．

分析（1）只要证明∠EOC=∠OCH，可得OE∥CH，EC∥OH即可证明；
（2）B的坐标是（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；四边形OECH是菱形；首先根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，判断四边形OECH是菱形，即可推出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，由此即可解决问题；
（3）分两种情形求解即可：①当点F在点O，G之间时，如图3；②当点G在O，F之间时，如图4；

解答（1）证明：如图1，

∵四边形OBCA为矩形，
∴OB∥CA，BC∥OA，
∴∠BOC=∠OCA，
又∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，
∴∠EOC=∠OCH，
∴OE∥CH，
又∵BC∥OA，
∴四边形OECH是平行四边形；

（2）解：点B的坐标是（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；四边形OECH是菱形．理由如下：如图2，

∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，
∵点F，G重合，
∴EH⊥OC，
又∵四边形OECH是平行四边形，
∴平行四边形OECH是菱形，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，
又∵∠EOC=∠BOE，
∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，
又∵点A的坐标是（5，0），
∴OA=5，
∴BC=5，
在Rt△OBC中，OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴点B的坐标是（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；

（3）解：①当点F在点O，G之间时，如图3，

∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴OF=OB，CG=CA，
而OB=CA，
∴OF=CG，
∵点F，G将对角线OC三等分，
∴AC=OF=FG=GC，
设AC=m，则OC=3m，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC²+OA²=OC²，
∴m²+5²=（3m）²，解得m=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴OB=AC=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴点B的坐标是（0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$）；
②当点G在O，F之间时，如图4，

同理可得OF=CG=AC，
设OG=n，则AC=GC=2n，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC²+OA²=OC²，
∴（2n）²+5²=（3n）²，解得n=$\sqrt{5}$，
∴AC=OB=2 $\sqrt{5}$，
∴点B的坐标是（0，2 $\sqrt{5}$）．