Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=

1

4

x²在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．
（1）求证：H点为线段AQ的中点；
（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；
（3）除P点外，直线PH与抛物线y=

1

4

x²有无其它公共点并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点的坐标知OA=OB，O为A，B的中点，利用三角形中位线定理可得（1）结论；
（2）要证四边形为平行四边形，由题找到两对边平行且相等，就可以了．在进一步证菱形，验证平行四边形相邻边相等就行了；
（3）判断有无公共点，要联立方程，看方程是否有解，若有解就存在．

解答：（1）证明：∵A（0，1），B（0，-1），
∴OA=OB．（1分）
又∵BQ∥x轴，
∴HA=HQ；（2分）

（2）证明：①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，
∵AR∥PQ，
∴∠RAH=∠PQH，
∴△RAH≌△PQH．（3分）
∴AR=PQ，
又∵AR∥PQ，
∴四边形APQR为平行四边形．（4分）
②设P（m，

1

4

m²），
∵PQ∥y轴，则Q（m，-1），则PQ=1+

1

4

m²．
过P作PG⊥y轴，垂足为G．
在Rt△APG中，AP=

AG2+PG2

=

( 1 4 m2-1)2+m2

=

( 1 4 m2+1)2

=

1

4

m2+1=PQ，
∴平行四边形APQR为菱形；（6分）

（3）解：设直线PR为y=kx+b，
由OH=CH，得H（

m

2

，0），P（m，

1

4

m²）．
代入得：

m 2 k+b=0 km+b= 1 4 m2

，
∴

k= m 2 b=- 1 4 m2

．
∴直线PR为y=

m

2

x-

1

4

m2．（7分）
设直线PR与抛物线的公共点为（x，

1

4

x²），代入直线PR关系式得：

1

4

x²-

m

2

x+

1

4

m²=0，

1

4

（x-m）²=0，
解得x=m．得公共点为（m，

1

4

m²）．
所以直线PH与抛物线y=

1

4

x²只有一个公共点P．（8分）

点评：此题考查函数性质及三角形中位线定理，判断平行四边形及菱形的判断定理，最后把求公共点的问题，转化为判断方程有无解的问题．