题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2﹣
x+4；
（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），
∴PG=﹣
m2﹣
m+4﹣4=﹣m2﹣m；
点P在直线BC上方时，故需要求出抛物线与直线BC的交点，
令4=﹣m2﹣
m+4，解得m=﹣2或0，
即m的取值范围：﹣2＜m＜0，
PG的长度为：﹣
m2﹣m（﹣2＜m＜0）；
（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．
∵y=﹣x2﹣x+4，
∴当y=0时，﹣x2﹣x+4=0，
解得x=1或﹣3，
∴D（﹣3，0）．
当点P在直线BC上方时，﹣2＜m＜0．
设直线BD的解析式为y=kx+4，
将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，
解得k=，
∴直线BD的解析式为y=x+4，
∴H（m，
m+4）．
分两种情况：
①如果△BGP∽△DEH，那么
=
，
即
=
，
解得m=﹣3或﹣1，
由﹣2＜m＜0，故m=﹣1；
②如果△PGB∽△DEH，那么
=
，
即
=
，
由﹣2＜m＜0，解得m=﹣
．
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣．
习题精选系列答案
′E⊥AC于点E．
，BP′=5
时，求线段AB的长．
，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．