Question

若抛物线y=-x²+2ax+b的顶点在直线mx-y-2m+1=0上移动，且与抛物线y=x²有公共点，求m的取值范围．

Answer 1

∵y=-x²+2ax+b=-（x-a）²+a²+b，
∴顶点坐标为（a，a²+b），
代入mx-y-2m+1=0中，得ma-（a²+b）-2m+1=0，
即b=ma-a²-2m+1，
联立

y=- x2+2ax+b y=x2

，
解得-2x²+2ax+b=0，
∵两抛物线有公共点，
∴△=（2a）²-4×（-2）×b≥0，
即a²+2b≥0，
a²+2（ma-a²-2m+1）≥0，
整理，得2（a-2）m≥a²-2，
当a=2时，无解，
当a＞2时，
m≥

a2-2

2(a-2)

=

1

2

[a-2+

2

a-2

+4]≥

2

+2，当a=2+

2

时取等号；
当a＜2时，
m≤

a2-2

2a-4

=

1

2

[a-2+

2

a-2

+4]≤-

2

+2，当a=2-

2

时取等号．