Question

14．已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=DC．
（1）如图1，小明利用圆规，添加辅助线进行证明，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，小明的方法可行吗？请说明理由；
（2）请你用与小明不同的方法证明此题．

Answer 1

分析 （1）证出∠BED=∠A，由AAS证明△ABD≌△EBD，即可得出结论；
（2）作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，证出∠DAM=∠C，由角平分线性质得出DM=DN，由AAS证明△ADM≌△CDN，即可得出结论．

解答 （1）解：小明的方法可行；理由如下：
∵DE=CD，
∴∠DEC=∠C，
∵∠A+J5C=180°，∠BED+∠DEC=180°，
∴∠BED=∠A，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BED}&{\;}\\{∠ABD=∠EBD}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD=DE，
∵DE=DC，
∴AD=DC；
（2）证明：作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，如图所示：
则∠DMA=∠DNC=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAM=180°，
∴∠DAM=∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴DM=DN，
在△ADM和△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DMA=∠DNC}&{\;}\\{∠DAM=∠C}&{\;}\\{DM=DN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AD=DC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键．