Question

如图（1），四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4

2

，0），

（1）求点A的坐标点和正方形AOBC的面积；
（2）将正方形绕点O顺时针旋转45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；
（3）如图（2），动点P从点O出发，沿折线O-A-C-B方向以1个单位/每秒匀速运动；另一动点Q从点C出发，沿折线C-B-O-A方向以2个单位/每秒匀速运动．P、Q两点同时出发，当Q运动到点A 时P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在这样的t值，使△OPQ成为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）连接AB，根据△OCA为等腰三角形可得AD=OD的长，从而得出点A的坐标，则得出正方形AOBC的面积；
（2）根据旋转的性质可得OA′的长，从而得出A′C，A′E，再求出面积即可；
（3）存在，从Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：
①当Q点在BC上时，使OQ=QP，则有OP=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，列式可得出t；
②当Q点在OB上时，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8-2t，列式可得出t；
③当Q点在OA上时，使OQ=PQ，列式可得出t．

解答：解：（1）如图1，连接AB，与OC交于点D，
由△OCA为等腰Rt△，得AD=OD=

1

2

OC=2

2

，
故点A的坐标为（2

2

，2

2

），
故正方形AOBC的面积为：

1

2

×4

2

×4

2

=16；

（2）如图1，旋转后可得OA′=OB=4，
则A′C=4

2

-4，而可知∠CA′E=90°，∠OCB=45°，
故△A′EC是等腰直角三角形，
则A′E=A′C=4

2

-4，
故S_{四边形OA’EB}=S_△OBC-S_△A’EC=16

2

-16．

（3）存在，从Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：
①如图2，

当Q点在BC上时，使OQ=QP，QM为OP的垂直平分线，
则有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，
则t=2（4-2t），
解得：t=

8

5

．
②如图3，

当Q点在OB上时，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8-2t，
则t=8-2t，
解得：t=

8

3

．
③当Q点在OA上时，如图4，

使OQ=PQ，t²-24t+96=0，
解得：t=12+4

3

（舍去），t=12-4

3

．

点评：此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大．