Question

在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，如图①，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）当DE=10时，求证：DE与圆O相切；
（2）求DE的最长距离和最短距离；
（3）如图②，建立平面直角坐标系，当DE=10时，试求直线DE的解析式．

Answer 1

分析：（1）如图1，连接OE，OD，由题意得，DE=DA=10，利用（SSS）判定△AOD≌△EOD，从可得∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）当点E运动到与B点重合的位置时，如图2，DE为正方形ABCD的对角线，所以此时DE最长，利用勾股定理求得DE，证明当点E运动到线段OD与半圆O的交点处时，DE最短．然后求得DE=OD-OE即可．
（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；如图4，当点E与点A不重合时，过点E作GH⊥x轴，分别交AD，x轴于点G，H，连接OE．则四边形AFEG是矩形，且DE为圆O的切线，求证△OFE∽△DGE，利用其对应边成比例，设E（m，n），则有：EF=m，OF=OB-FB=5-n求得即可．

解答：证明：（1）如图1，连接OE，OD，由题意得，
DE=DA=10，OA=OE=

1

2

AB=5，OD为公共边
∴△AOD≌△EOD（SSS）
∴∠OED=∠OAD=90°
∴OE⊥DE，
∴DE与圆O相切．

（2）当点E运动到与B点重合的位置时，如图2，DE为正方形ABCD的对角线，所以此时DE最长，
有：DE=

AD2+AB2

=10

2

，
当点E运动到线段OD与半圆O的交点处时，DE最短．

证明如下：
在半圆O上任取一个不与点E重合的点E′，连接OE′，DE′．如图3，
在△ODE′中，∵OE′+DE′＞OD即：OE′+DE′＞OE+DE，
∵OE′=OE，
∴DE′＞DE
∵点E′是任意一个不与点E重合的点，∴此时DE最短．
∴DE=OD-OE=

AD2+AO2

-OE=

102+52

-5=5

5

-5，

（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；如图4，
当点E与点A不重合时，过点E作GH⊥x轴，分别交AD，x轴于点G，H，连接OE．
则四边形AFEG是矩形，
连接OD，
∵AD=DE，OA=OE，OD=OD，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠OED=90°，
∴DE为圆O的切线
∴∠FEG=∠OED=90°
∴∠FEO=∠GED，
又∵∠OFE=∠DGE=90°
∴△OFE∽△DGE
∴

OF

DG

=

EF

EG

=

OE

DE

，
设E（m，n），则有：EF=m，OF=OB-FB=5-n
得：

5-n

10-m

=

m

10-n

=

5

10

，
解得：

m=4 n=2

，即：E（4，2）
又直线DE过点D（10，10），设直线DE解析式为y=kx+b，则有：

4k+b=2 10k+b=10

，
解得：

k= 4 3 b=- 10 3

，即：y=

4

3

x-

10

3

∴当DE=10时，直线DE的解析式为y=

4

3

x-

10

3

；
以下两种解法涉及高中知识，仅供参考：
另解2：
（1）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；
（2）当点E与点A不重合时，tan∠ADO=

1

2

，tan∠ADE=tan2∠ADO=

2tan∠ADO

1-(tan∠ADO)2

=

4

3

设直线y=

4

3

x+b且经过点（10，10），代入求得b=-

10

3

所以直线DE的解析式为y=

4

3

x-

10

3

；
另解3：
依题意得：点O的坐标为（0，5），设直线DE的解析式为y=kx+b
由点到直线的距离公式得：l=

b-5

k2+1

=5，即（b-5）²=25（k²+1）①
直线DE过点D（10，10），得10=10k+b②
由①②解得：75k²-100k=0，解得k=0，k=

4

3

所以直线DE的解析式为：为y=

4

3

x-

10

3

．

点评：此题涉及到的知识点较多，有相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，切线的判定与性质，综合性很强，是一道很典型的题目．