Question

在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，如图①，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连结DE.

【小题1】当DE=10时，求证：DE与圆O相切；
【小题2】求DE的最长距离和最短距离；
【小题3】如图②，建立平面直角坐标系，当DE =10时，试求直线DE的解析式.

Answer 1

p;【答案】
【小题1】证明：连结，由题意得，------------1分

，，为公共边
∴ 
∴-------------------2分
（利用勾股定理逆定理相应给分）
∴
∴与圆相切.-------------------3分
【小题2】当点运动到与点重合的位置时，

为正方形的对角线，所以此时最长，有：
-----------------4分
当点运动到线段与半圆的交点处时，最短.
-----------------5分
【小题3】当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；

当点E与点A不重合时，过点E作GH ⊥轴，分别交，轴于点，，连结.
则四边形是矩形，且为圆的切线
∴=90°
∴-----------------------9分
又∵
∴∽
∴----------------------10分
设，则有：，
得：，-----------------------11分
解得：， 即：----------------12分
又直线DE过点D(10,10),设直线解析式为，则有：，
解得：，即：
∴当时，直线的解析式为或-----------------------14分
以下两种解法涉及高中知识，仅供参考：
另解2:
（1）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；
（2）当点E与点A不重合时，，

设直线且经过点（10，10），代入求得
所以直线DE的解析式为
另解3:
依题意得:点O的坐标为(0,5),设直线DE的解析式为
由点到直线的距离公式得: ,即   ①
直线DE过点D(10,10),得   ②
由①②解得：，解得
所以直线DE的解析式为解析:
p;【解析】略