Question

9．将边长为4的等边三角形OAB放置在平面直角坐标系中，其中O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，点D是线段OB上的动点，设OD=m．
（1）直接写出点B的坐标（4，0）．
（2）求△AOD的面积（用含m的代数式表示）．
（3）如图1，以AD为直径的⊙M分别交OA、AB于点E、F，连接EF，求线段EF长度的最小值．
（4）如图2，点C为线段AB上的点，且BC=$\frac{1}{3}$AB，点P在线段OA上（不与O、A重合）．点D在线段OB上运动，当∠CPD=60°时，求满足条件的点P的个数．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可得OB=4，进而可求出点B的坐标；
（2）易求等边三角形OB边上的高，再利用三角形面积公式即可求出△AOD的面积；
（3）连结EM、FM，作MN⊥EF于N，在等边△OAB中，∠OAB=60°，进而可得EF=2EN=2EM•sin∠EMN=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$AD，若线段EF的长度要最小，则线段AD的长要最小，所以当AD⊥OB时，AD最短，即当m=2时，AD有最小值$2\sqrt{3}$；
（4）利用已知条件易证△OPD∽△ACP，由相似三角形的性质可得：$\frac{OP}{AC}=\frac{OD}{AP}$，设OP=x，则AP=4-x，因为BC=$\frac{1}{3}$AB，所以AC=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{8}{3}$，进而$\frac{x}{\frac{8}{3}}$=$\frac{m}{4-x}$，化简得：${x^2}-4x+\frac{8}{3}m=0$，再根据根的判别式即可求出点P的个数．

解答 解：（1）∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=CO=4，
∴点B的坐标为（4，0），
故答案为：4，0
（2）∵OA=4
∴等边三角形OAB的高为2$\sqrt{3}$，
∴△AOD的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$m=$\sqrt{3}$m；
（3）如图1：连结EM、FM，作MN⊥EF于N，在等边△OAB中，∠OAB=60°，
∴∠EMF=120°，
∵EM=FM，
∴∠EMN=$\frac{1}{2}$∠EMF=60°，
∴EF=2EN=2EM•sin∠EMN=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$AD，
若线段EF的长度要最小，则线段AD的长要最小，
∴当AD⊥OB时，AD最短，
即当m=2时，AD有最小值$2\sqrt{3}$，
此时EF的长度有最小值，最小值为EF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$×$2\sqrt{3}$=3；
（4）在等边三角形OAB中，∠AOB=∠A=60°，
若∠CPD=60°，则∠APC+∠OPD=120°，
∵∠OPD+∠ODP=120°，
∴∠APC=∠ODP，
∴△OPD∽△ACP，
∴$\frac{OP}{AC}=\frac{OD}{AP}$，
设OP=x，则AP=4-x，
∵BC=$\frac{1}{3}$AB，
∴AC=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{x}{\frac{8}{3}}$=$\frac{m}{4-x}$，化简得：${x^2}-4x+\frac{8}{3}m=0$，
∵$△={（-4）^2}-4×1×\frac{8}{3}m=16-\frac{32}{3}m$，
∴当$△＜0，即4≥m＞\frac{3}{2}时$，方程没有实数根，此时对应的点P不存在；  
当$△=0，即m=\frac{3}{2}时$，方程有两个相等的实数根，此时对应的点P有1个；
当$△＞0，即0≤m＜\frac{3}{2}时$，方程有两个不相等的实数根，此时对应的点P有2个．

点评 本题综合考查了圆的有关知识，用到的知识点有：等边三角形的性质、勾股定理的运用、特殊角的锐角三角函数函数值、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程根的判别式，题目的综合性较强，难度中等．