Question

【题目】如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．

如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．

（1）若△ACD的面积为16．

①求抛物线解析式；

②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；

（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．

（1）若△ACD的面积为16．

①求抛物线解析式；

②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；

（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①；②最大值为2；（2）a的取值范围为．

【解析】

（1）①先求出点A，C，D的坐标，从而得CD＝8，OA＝12a，结合S△ACD＝16，即可求解；②根据旋转的性质以及SAS可证：P SP1C SC1，进而证明△MSC∽△NSP1，得，设S(t，0)（0≤t≤6），可得，进而即可求解；

（2）分两种情况讨论：①当点M在y轴的左侧时，此时∠MAO＝30°，求出直线AM的解析式：，进而可得点M的横坐标，列出关于a的不等式，即可求解，②当点M在y轴的右侧时，用类似的方法，求出点M的横坐标，列出关于a的不等式，即可求解．

（1）①由题意，令y＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，

∴C(﹣2，0)，D(6，0)，

∴CD＝8．

令x＝0，解得：y＝﹣12a，且a＞0，

∴A(0，﹣12a)，即OA＝12a，

∴S△ACD＝＝48a＝16，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；

②∵线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，

∴SC= SC1，SP= SP1，∠P SP1=∠C SC1，

∴P SP1C SC1（SAS），

∴∠SP1P=∠SC1C＝∠SCC1，且∠MSC＝∠NSP1，

∴△MSC∽△NSP1，

∴，

设S(t，0)（0≤t≤6），则SP1=SP＝，SC＝t+2，

∴，

∵0≤t≤6，

∴当t＝0时，最大值为2；

（2）∵直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，

∴B(12a，0)，OA＝OB＝12a，∠OAB＝∠OBA＝45°,

①当点M在y轴的左侧时，此时∠MAO＝30°，

设直线AM与x轴交于点E，则OE＝，

∴E(，0)，

又∵A(0，﹣12a)，

∴直线AM的解析式为：，

联立， 得：，

解得：（舍去），

∴点M的横坐标为：，

∵＜0且a＞0，

∴0＜a＜；

②当点M在y轴的右侧时，作①中直线AE关于直线AB的对称直线，此时，直线AE的对称直线与抛物线的交点，即为点M，过点B作x轴的垂线与直线AE关于AB的对称直线交于点F，则△EBA≌△FBA，

∴∠BAF＝∠BAE =75°，BF＝BE＝，∠FBO＝90°，

∴F(12a，)，

∴直线AF的解析式为：，

联立，解得：（舍去），

∴点M的横坐标为：，

∵且a＞0，

∴a＞，

综上所述：故要使满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，则a的取值范围为：．