Question

如图（1），抛物线y=x²+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C。

（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图（2）），△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞-4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，-4）。
（2）当b=0时，直线为
由
解得，
所以B、C的坐标分别为（-2，-2），（2，2）
，
所以
当时，仍有成立，理由如下
由
解得，
所以B、C的坐标分别为，
作轴，轴，垂足分别为F、G，则

而和是同底的两个三角形
所以。
（3）存在这样的b
因为
所以
所以，即E为BC的中点
所以当OE=CE时，△OBC为直角三角形
因为
所以
而
所以
解得，
所以当b=4或-2时，ΔOBC为直角三角形。