Question

7．E是正方形ABCD的边AD上一点，将△ABE沿直线BE对折，使点A落在点F处，连接CF，DF．若∠DFC=90°，求$\frac{AE}{ED}$的值．

Answer 1

分析 延长EF交CD于M，连接BM，根据正方形的性质得到AB=BC，∠A=∠BCD=90°由折叠的性质得到∠BFE=∠BFM=90°，通过R_t△BFM≌R_t△BCM，于是得到MF=MC．由等腰三角形的性质得到∠MFC=∠MCF由余角的性质得到∠MFC=∠MDF，于是求得MF=MD，设MF=MD=MC=a，AE=EF=x根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：延长EF交CD于M，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°，
∵将△ABE沿直线BE对折得到△BEF，
∴∠BFE=∠BFM=90°，
在R_t△BFM与R_t△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BC}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴R_t△BFM≌R_t△BCM，
∴MF=MC，
∴∠MFC=∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM=90°，∠MCF+∠FDM=90°，
∴∠MFC=∠MDF，
∴MF=MD，
设MF=MD=MC=a，AE=EF=x，
∵DE²+DM²=EM²，
即（2a-x）²+a²=（x+a）²，
解得：x=$\frac{2}{3}$a，
∴AE=$\frac{2}{3}$a，DE=$\frac{4}{3}$a，
∴$\frac{AE}{ED}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．