Question

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式．

Answer 1

考点：根的判别式,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）综合根的判别式及k的要求求出k的取值；
（2）对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式．

解答：解：（1）由题意得，△=16-8（k-1）≥0．
∴k≤3．
∵k为正整数，
∴k=1，2，3；

（2）设方程2x²+4x+k-1=0的两根为x₁，x₂，则
x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

k-1

2

．
当k=1时，方程2x²+4x+k-1=0有一个根为零；
当k=2时，x₁•x₂=

1

2

，方程2x²+4x+k-1=0没有两个不同的非零整数根；
当k=3时，方程2x²+4x+k-1=0有两个相同的非零实数根-1．
综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意．
当k=3时，二次函数为y=2x²+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x²+4x-6．

点评：此题考查一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移，以及分类讨论思想的渗透．