Question

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．

 

Answer 1

（1）证明：连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵PB为⊙O的切线，B为切点，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵=，且OC=4，

∴AC=6，

∴AB=12，

在Rt△ACO中，

由勾股定理得：AO==2，

∴AE=2OA=4，OB=OA=2，

在Rt△APO中，

∵AC⊥OP，

∴AC²=OC•PC，

解得：PC=9，

∴OP=PC+OC=13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3，

∴PB=PA=3，

∵AC=BC，OA=OE，

∴OC=BE，OC∥BE，

∴BE=2OC=8，BE∥OP，

∴△DBE∽△DPO，

∴，

即，

解得：BD=，

在Rt△OBD中，

tanD===．