题目内容
如图，抛物线y=-| 1 |
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（1）求点B的坐标；
（2）求m的值；
（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=
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考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）利用二次函数对称性以及对称轴公式进而求出B点坐标即可；
（2）首先得出△DFG∽△CFA，进而得出DG的长，得出D点坐标，代入解析式即可得出m的值；
（3）设点M（x，
x-2），表示出OM2，EM2的值，利用①当OE为菱形的对角线时，②当OE为菱形的边时，若EM=OE=2以及若OM=OE=2分别得出M点的坐标即可．
（2）首先得出△DFG∽△CFA，进而得出DG的长，得出D点坐标，代入解析式即可得出m的值；
（3）设点M（x，
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解答：
解：（1）∵抛物线y=-
x2+
x+3交y轴于点A，
∴A（0，3），
∵抛物线的解析式为：y=-
x2+
x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A关于直线l的对称点为点B，
∴点B的坐标为：（2，3）；
（2）过点D作DG⊥y轴于点E，则∠DGF=∠CAF=90°，
∵∠DFC=∠CFA，
∴△DFG∽△CFA，
∴
=
，
由（1）得，AC=1，
又∵CF：DF=1：4，
∴
=
，
∴DG=4，
∴点D的坐标为：（-4，-5），
∵直线y=
x+m过点D（-4，-5），
∴-5=
×（-4）+m，
解得：m=-2；
（3）由（2）得直线y=
x+m的解析式为：y=
x-2，
点E的坐标为：（0，-2），OE=2，
设点M（x，
x-2），则OM2=
x2-3x+4，
EM2=x2+[
x-2-（-2）]2=
x2，
①当OE为菱形的对角线时，点M在线段OE的中垂线上，则点M的纵坐标为：-1，
∴
x-2=-1，
解得：x=
，
即点M的坐标为：（
，-1）；
②当OE为菱形的边时，若EM=OE=2，
则
x2=4，解得：x1=
，x2=-
，
代入y=
x-2得，y1=-
，y2=-
，
即点M的坐标为：（
，-
）或（-
，-
），
若OM=OE=2，
则
x2-3x+4=4，
解得：x3=
，x4=0（不合题意舍去），
代入y=
x-2得，y3=-
，
∴点M的坐标为：（
，-
），
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为（
，-1），（
，-
），（-
，-
），（
，-
）．
解：（1）∵抛物线y=-| 1 |
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∴A（0，3），
∵抛物线的解析式为：y=-
| 1 |
| 3 |
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∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A关于直线l的对称点为点B，
∴点B的坐标为：（2，3）；
（2）过点D作DG⊥y轴于点E，则∠DGF=∠CAF=90°，
∵∠DFC=∠CFA，
∴△DFG∽△CFA，
∴
| DG |
| AC |
| DF |
| CF |
由（1）得，AC=1，
又∵CF：DF=1：4，
∴
| DG |
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| 1 |
∴DG=4，
∴点D的坐标为：（-4，-5），
∵直线y=
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| 4 |
∴-5=
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解得：m=-2；
（3）由（2）得直线y=
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点E的坐标为：（0，-2），OE=2，
设点M（x，
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| 16 |
EM2=x2+[
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①当OE为菱形的对角线时，点M在线段OE的中垂线上，则点M的纵坐标为：-1，
∴
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解得：x=
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即点M的坐标为：（
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②当OE为菱形的边时，若EM=OE=2，
则
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代入y=
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即点M的坐标为：（
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若OM=OE=2，
则
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解得：x3=
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代入y=
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∴点M的坐标为：（
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综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为（
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点评：此题主要考查了二次函数综合以及菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
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