Question

20．已知，如图，在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过点E作弦CD⊥AB，点F是弧AB上的一点，连接AF交CE于点H，连结AC，CF，BD．
（1）求证：△ACH∽△AFC；
（2）若AC=$\sqrt{2}$，求AH•AF的值；
（3）当S_△AEC：S_△BOD=1：4时，则点E离点A的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）先由垂定定理得出$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，即可得出∠ACD=∠CFA，进而得出结论；
（2）借助（1）的结论得出AC²=AH•AF，代值即可得出结论；
（3）先由垂定定理判断出S_△AEC=S_△AED，进而得出S_△AED：S_△BOD=1：4，再用同高的两三角形的面积比等于底的比得出$\frac{AE}{OB}=\frac{1}{4}$，即可求出AE．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠CFA，
∵∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC；

（2）由（1）知，△ACH∽△AFC；
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{AH}{AC}$，
∴AC²=AH•AF，
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴AH•AF=2；

（3）如图，连接AD，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴S_△AEC=S_△AED，
∵S_△AEC：S_△BOD=1：4，
∴S_△AED：S_△BOD=1：4，
∵S_△AED=$\frac{1}{2}$AE•DE，S_△BOD=$\frac{1}{2}$OB•DE，
∴$\frac{AE}{OB}=\frac{1}{4}$，
∵直径AB=4，
∴OB=2，
∴AE=$\frac{1}{2}$，
∴点E离点A的距离是$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了垂定定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判断和性质，同高的两三角形的面积比等于底的比，解本题的关键判断出△ACH∽△AFC和用同高的两三角形的面积比等于底的比，是一道中等难度的中考常考题．