Question

5．二次函数y=$\frac{2}{3}$x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₇在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₇在二次函数y=$\frac{2}{3}$x²位于第一象限的图象上，△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₆B₂₀₁₇A₂₀₁₇都为等边三角形，则等边△A₂₀₁₆B₂₀₁₇A₂₀₁₇的高为$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$，．

Answer 1

分析 分别过B₁，B₂，B₃作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A₀A₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，则AB₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BB₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，CB₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B₁，B₂，B₃的纵坐标，逐步代入抛物线y=$\frac{2}{3}$x²中，求a、b、c的值，得出规律．

解答 解：设A₀A₁=a，
∵△A₀B₁A₁是等边三角形，
∴点B₁的横坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，纵坐标为$\frac{1}{2}$a，
∴B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），
∵B₁在二次函数y=$\frac{2}{3}$x²位于第一象限的图象上，
∴$\frac{2}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²=$\frac{1}{2}$a，
解得a=1，
∴B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴△A₀B₁A₁的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理，设A₁A₂=b，
则B₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{1}{2}$b+1），
代入二次函数解析式得，$\frac{2}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{1}{2}$b+1，
解得b=2，b=-1（舍去），
B₂（$\sqrt{3}$，1），
所以，△A₁B₂A₂的高为$\sqrt{3}$，
设A₂A₃=c，则B₃（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c+1+2），
代入二次函数解析式得，$\frac{2}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）²=$\frac{1}{2}$c+1+2，
解得c=3，c=-2（舍去），
所以，B₃（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
所以，△A₂B₃A₃的高为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
…，
以此类推，B₂₀₁₇（$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2017}{2}$），
所以，△A₂₀₁₆B₂₀₁₇A₂₀₁₇的高=$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质表示出点B系列的坐标是解题的关键，也是本题的难点．