Question

18．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+4交x轴、y轴于点A、C，以OA、OC为边作正方形OABC，且D（0，3），E（-2，0），点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，连接PD、PE、DE．
（1）当点P与点A重合时，PD-PF=1；
        当点P与点C重合时，PD-PF=1；
        猜想：对任意一点P，PD-PF=1．判断该猜想是否正确，并说明理由；
（2）是否存在点P，使△PDE的周长最小？若存在，请求出些时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设△PDE的面积为S，求S的取值范围，并写出S为整数时P点的个数．

Answer 1

分析 （1）分别求出PF、PD的值即可解决问题．
（2）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，因为PD-PF=1，所以PD=PF+1，PE+PD=PE+PF+1，推出当P、E、F三点共线时，PE+PF最小．
（3）设P（a，-$\frac{1}{4}$ a²+4），求出直线DE的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+3，过点P作PN⊥x轴于点N，交DE于点M，则M点坐标为（a，$\frac{3}{2}$a+3），PM=-$\frac{1}{4}$a²+4-$\frac{3}{2}$a-3=-$\frac{1}{4}$a²-$\frac{3}{2}$a+1，根据S_△PDE=S_△PME+S_△PMD= $\frac{1}{2}$PM×EN+$\frac{1}{2}$PM×ON=$\frac{1}{2}$PM（EN+ON）=$\frac{1}{2}$PM×OE=$\frac{1}{2}$×2×（-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1）=-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=-$\frac{1}{4}$（a+3）²+$\frac{13}{4}$，推出-4≤a≤0，且当a=-3时，S_最大=$\frac{13}{4}$，推出1≤S_△PDE≤$\frac{13}{4}$，根据S为整数，推出S=1 或2或3，分别列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+4交x轴、y轴于点A、C，
∴A（-4，0），C（0，4），
∴OA=OC=4，
∵四边形AOCB是正方形，
∴AB=CB=OA=OC=4，
当点P与点A重合时，PF=AB=4，PD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PD-PF=5-4=1，
当点P与点C重合时，PF=0，PD=1，PD-PF=1-0=1，
猜想：对于任意一点P，PD-PF=1，
猜想正确，理由：设P（a，-$\frac{1}{4}$ a²+4），则F（a，4），
∵D（0，3），
∴PD=$\sqrt{{a}^{2}+（-\frac{1}{4}{a}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$a²+1，PF=4-（-$\frac{1}{4}$a²+4）=$\frac{1}{4}$a²，
∴PD-PF=1；
故答案分别为1，1，1．

（2）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD-PF=1，∴PD=PF+1，
∴PE+PD=PE+PF+1，
∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，
此时点P，E的横坐标都为-2，
将x=-2代入y=-$\frac{1}{4}$a²+4，得y=3，
∴P（-2，3）．

（3）由（1）得：设P（a，-$\frac{1}{4}$ a²+4）
∵点D、E的坐标分别为（0，3），（-2，0），
∴设直线DE的解析式为：y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{2}$x+3，
过点P作PN⊥x轴于点N，交DE于点M
则M点坐标为（a，$\frac{3}{2}$a+3）
∴PM=-$\frac{1}{4}$a²+4-$\frac{3}{2}$a-3=-$\frac{1}{4}$a²-$\frac{3}{2}$a+1
∴S_△PDE=S_△PME+S_△PMD= $\frac{1}{2}$PM×EN+$\frac{1}{2}$PM×ON=$\frac{1}{2}$PM（EN+ON）=$\frac{1}{2}$PM×OE
=$\frac{1}{2}$×2×（-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1）
=-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=-$\frac{1}{4}$（a+3）²+$\frac{13}{4}$，
∵-4≤a≤0，且当a=-3时，S_最大=$\frac{13}{4}$
∴1≤S_△PDE≤$\frac{13}{4}$，
∵S为整数，
∴S=1 或2或3，
当S=1时，-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=1，符合条件的点P只有一个．
当S=2时，-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=2，符合条件的点P只有一个．
当S=3时，-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=3，符合条件的点P有二个．
∴p点的个数有4个．

点评 本题考查二次函数综合题、正方形的性质、三角形的面积、一次函数的应用、最短问题等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决问题最值问题，学会构建二次函数解决实际问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．