Question

已知：如图在平行四边形ABCD中，对角线BD的中点为O，过点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．
（1）证明：OE=OF；
（2）若连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状（简述理由）；
（3）若将直线EF绕O点旋转（EF不重合于BD），四边形BFDE的形状如何？若四边形BFDE为矩形，则∠DOF与∠DBF满足怎样的数量关系（直接给出结论即可）．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）证明△DOE≌△BOF，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断；
（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断四边形BFDE的形状，根据矩形的性质：对角线相等，求得OB=OF，根据等边对等角得出∠OBF=∠OFB，最后根据三角形的外角的性质即可求得；

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EDO=∠FBO，∠E=∠F．
在△DOE与△BOF中，

∠EDO=∠FBO ∠E=∠F OD=OB

，
∴△DOE≌△BOF（AAS）
∴OE=OF；

（2）四边形BFDE为平行四边形．
∵OD=OB，OE=OF
∴四边形BFDE为平行四边形．   

（3）将直线EF绕O点旋转，四边形BFDE仍为平行四边形．
若四边形BFDE为矩形，则∠DOF=2∠DBF．
理由：∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
∵若四边形BFDE为矩形，则EF=BD，
∴OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∵∠DOF=∠OBF+∠OFB，
∴∠DOF=2∠DBF；

点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、矩形的性质等，本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理，以及矩形的性质定理；