Question

16．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC²+PB²的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAB=90°即可解决问题；
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN，由△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，推出PC=$\sqrt{2}$PM，PB=$\sqrt{2}$PN，可得PC²+PB²=2（PM²+PN²）=2（AN²+PN²）=2PA²=PE²=2²=4；

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠AEP=∠ABP=45°，
∵PE是直径，
∴∠PAB=90°，
∴∠APE=∠AEP=45°，
∴AP=AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．

（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，
∴PM=AN，
∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，
∴PC=$\sqrt{2}$PM，PB=$\sqrt{2}$PN，
∴PC²+PB²=2（PM²+PN²）=2（AN²+PN²）=2PA²=PE²=2²=4．
（也可以证明△ACP≌△ABE，△PBE是直角三角形）

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．