Question

10．把一边长为30cm的正方形硬纸板四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体形状的盒子（纸板的厚度忽略不计）．
①要使折成的长方体盒子的底面积为576m²，那么剪掉的正方形的边长是多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．

Answer 1

分析 ①设剪掉的正方形边长为xcm，则折成的长方体盒子地面正方形边长为（30-2x），根据正方形面积=边长的平方列出方程求解即可；
②根据侧面积=4×长方体的长×高列出函数关系式，配方可得其最大值．

解答 解：①设剪掉的正方形边长为xcm，则折成的长方体盒子地面正方形边长为（30-2x）cm，
根据题意，得：（30-2x）²=576，
解得：x=3或x=27（舍去），
故剪掉的正方形的边长是3cm；
②根据题意知，侧面矩形的长为（30-2x）cm，宽为xcm，
则长方体盒子的侧面积S=4x（30-2x）=-8x²+120x=-8（x-$\frac{15}{2}$）²+450，
∴当x=$\frac{15}{2}$时，S取得最大值，最大值为450，
答：当剪掉的正方形的边长为$\frac{15}{2}$cm时，长方体盒子的侧面积有最大值450cm²．

点评 本题主要考查一元二次方程、二次函数的实际应用能力，根据题意列出方程或函数关系式是关键．