Question

14．已知等腰直角△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A．C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式．
（2）当点P在线段AB上时，点P运动几秒时，S_△PCQ=$\frac{1}{4}$S_△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P．Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=$\frac{1}{2}$QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系；
（2）另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答；
（3）根据当t＜10秒时，P在线段AB上，得出△APE≌△QCF，以及当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，得出DE的长．

解答 解：（1）如图1，过P点作PE⊥AC于E．
当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t
∴s=$\frac{1}{2}$×t×（10-t）=$\frac{1}{2}$（10t-t²）
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t-10
∴s=$\frac{1}{2}$×t×（t-10）=$\frac{1}{2}$（t²-10t）；

（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=50，
∴当t＜10秒时，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（10t-t²）=$\frac{50}{4}$，
整理得t²-10t+25=0，
解得：t=5．
当t＞10秒时，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（t²-10t）=$\frac{50}{4}$，
整理得t²-10t-25=0解得t=5±5$\sqrt{2}$（舍去负值），
∴当点P运动5秒或5+5$\sqrt{2}$秒时，S_△PCQ=$\frac{1}{4}$S_△ABC；

（3）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明如下：
①当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，
过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F
，在Rt△APE和Rt△QCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠QFC}\\{∠A=∠QCF}\\{AP=QC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△QCF，
∴AE=PE=CF=QF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴四边形PEQF是平行四边形，且DE是对角线EF的一半
又∵EF=AC=10$\sqrt{2}$，
∴DE=5$\sqrt{2}$，
②当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，如图2，
作PE⊥AC，交直线AC于点E，过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F．
同理可得DE=5$\sqrt{2}$．
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据已知分别进行讨论当t＜10秒以及当t＞10秒是解题关键．