Question

求证：矩形的四个顶点处的四个外角的平分线所围成的四边形是正方形．

已知：如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的四边形．

求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵HE、FE都是矩形ABCD的外角平分线， 　　∴∠EAB＝∠EBA＝． 　　∴∠E＝． 　　同理可证∠F＝∠G＝∠H＝． 　　∴四边形EFGH是矩形． 　　又∵AD＝BC，∠BCF＝∠CBF＝∠HAD＝∠HDA＝， 　　∴△ADH≌△BCF． 　　∴AH＝BF． 　　又∵∠EAB＝∠EBA＝， 　　∴EA＝EB． 　　∴EA＋AH＝EB＋BF． 　　即EH＝EF． 　　∴四边形EFGH是正方形．

提示：

点悟：由于EFGH是由矩形的外角平分线组成，故易证明四边形EFGH是矩形，只需再证明其有一组邻边相等即可．由图形易知EA＝EB，只需证AH＝BF即可，而易证△BFC和△AHD全等，故命题得证． 　　点拨：判定正方形的方法一般是先证其是矩形，再证其有一组邻边相等；或先证其是菱形，再证其有一个角是直角．