Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A(3，0)，B(0，)两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．

(1)求直线AB的解析式；

(2)若S_梯形OBCD＝，求点C的坐标；

(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)直线AB解析式为：y＝x＋． 　　(2)方法一：设点C坐标为(x，x＋)，那么OD＝x，CD＝x＋． 　　∴＝＝． 　　由题意：＝，解得(舍去) 　　∴C(2，) 　　方法二：∵，＝， 　　∴． 　　由OA＝OB，得∠BAO＝30°，AD＝CD． 　　∴＝CD×AD＝＝．可得CD＝． 　　∴AD＝1，OD＝2．∴C(2，)． 　　(3)当∠OBP＝Rt∠时，如图 　　①若△BOP∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO＝30°，BP＝OB＝3， 　　∴(3，)． 　　②若△BPO∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO＝30°，BP＝OB＝1． 　　∴(1，)． 　　当∠OPB＝Rt∠时 　　③过点O作OP⊥BA于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 　　过点P作PM⊥OA于点M． 　　方法一：在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝． 　　∵在Rt△PMO中，∠OPM＝30°， 　　∴OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴(，)． 　　方法二：设Ｐ(x，x＋)，得OM＝x，PM＝x＋ 　　由∠BOP＝∠BAO，得∠POM＝∠ABO． 　　∵tan∠POM＝＝＝，tan∠ABO＝＝． 　　∴x＋＝x，解得x＝．此时，(，)． 　　④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP＝∠BAO＝30°，∠POM＝30°． 　　∴PM＝OM＝． 　　∴(，)(由对称性也可得到点的坐标)． 　　当∠OPB＝Rt∠时，点P在x轴上，不符合要求． 　　综合得，符合条件的点有四个，分别是： 　　(3，)，(1，)，(，)，(，)．