Question

已知：关于x的方程mx²+(3m+1)x+3=0．

（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；

（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；

（3）在（2）的条件下，令y=mx²+(3m+1)x+3，如果当x₁=a与x₂=a+n（n≠0）时有y₁=y₂，求代数式4a²+12an+5n²+16n+8的值．

Answer 1

解：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=－3．…………1分

当m≠0时，原方程为一元二次方程．

∵△=(3m+1)²－12m=9m²－6m+1=(3m－1)²．

∵m≠0，∴不论m为任何实数时总有(3m－1)²≥0．

∴此时方程有两个实数根．………………………………………………2分

综上，不论m为任何实数时，方程 mx²+(3m+1)x+3=0总有实数根．

（2）∵mx²+(3m+1)x+3=0．

解得 x₁=－3，x₂=． ………………………………………………3分

∵方程mx²+(3m+1)x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，

∴m=1．………………………………………………………………………5分

（3）∵m=1，y=mx²+(3m+1)x+3．

∴y=x²+4x+3．

又∵当x₁=a与x₂=a+n（n≠0）时有y₁=y₂，

∴当x₁=a时，y₁=a²+4a+3，

当x₂=a+n时，y₂=(a+n)²+4(a+n)+3．

∴a²+4a+3=(a+n)²+4(a+n)+3．

化简得 2an+n²+4n=0．

即 n(2a+n+4)=0．

又∵n≠0，∴2a=－n－4．  

∴ 4a²+12an+5n²+16n+8

=(2a)²+2a•6n+5n²+16n+8

  =(n+4)²+6n(－n－4)+5n²+16n+8=24．