Question

9．如图，已知直线y=ax-1与x轴和y轴分别交于C、B两点，直线y=-$\frac{2}{3}$x+b与x轴交于A，并且这两条直线交于P（2，2）．
（1）求两直线的解析式；
（2）连接AB，求证：△PAB是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）将点P的坐标代入两直线解析式求出a、b的值，即可得解；
（2）根据直线解析式为y=$\frac{3}{2}$x-1，y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，得到$\frac{3}{2}$×（-$\frac{2}{3}$）=-1，求得∠APB=90°，A（5，0），B（0，-1），根据两点间的距离公式得到AP=$\sqrt{（5-2）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$，BP=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$，于是得到结论．

解答 解：（1）∵直线y=ax-1与直线y=-$\frac{2}{3}$x+b交点为（2，2），
∴2a-1=2，-$\frac{2}{3}$×2+b=2，
解得a=$\frac{3}{2}$，b=10，
所以，两直线解析式为y=$\frac{3}{2}$x-1，y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$；

（2）∵直线解析式为y=$\frac{3}{2}$x-1，y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
∴$\frac{3}{2}$×（-$\frac{2}{3}$）=-1，
∴直线y=$\frac{3}{2}$x-1与y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$垂直，
∴∠APB=90°，
∵直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$与x轴交于A，直线y=$\frac{3}{2}$x-1与y轴交于B，
∴A（5，0），B（0，-1），
∵AP=$\sqrt{（5-2）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$，BP=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AP=BP，
∴△PAB是等腰直角三角形．

点评 本题考查了两条直线相交的问题，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法，两点间的距离，等腰直角三角形的判定，需熟练掌握并灵活运用，难点在于（2）利用两点间的距离求得AP，BP．