钝角三角形ABC中.∠BAC＞90°.∠ACB=α.∠ABC=β.过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上.且BC=BE．(1)若AB=AC.点E在AD延长线上．①当α=30°.点D恰好为BC中点时.补全图1.直接写出∠BAE=60°.∠BEA=30°,②如图2.若∠BAE=2α.求∠BEA的度数,(2)如图3.若AB＜AC.∠BEA的度数与(1)中②的结论相同.直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．

（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．
①当α=30°，点D恰好为BC中点时，补全图1，直接写出∠BAE=60°，∠BEA=30°；
②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．

分析（1）①只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题．②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．
只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．
（2）如图3中，连接EC，由△ADC∽△BDE，推出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DC}{DE}$，推出$\frac{AD}{DC}$=$\frac{BD}{DE}$，由∠ADB=∠CDE，推出△ADB∽△CDE，推出∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，由BC=BE，推出∠BCE=∠BEC，推出∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．

解答解：（1）①补全图1，如图所示．

∵AB=AC，BD=DC，
∴AE⊥BC，
∴EB=EC，∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAE=60°
∵BC=BE，
∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，
∴∠BEC=60°，∠BEA=30°
故答案为60，30．

②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，
∴∠BAM=∠BAN，
∴BM=BN，
在Rt△BMF和Rt△BNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMF≌Rt△BNE．
∴∠BEA=∠F，
∵BF=BC，
∴∠F=∠C=α，
∴∠BEA=α．

（2）结论：∠BAE=α+β．理由如下，
如图3中，连接EC，

∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DC}{DE}$，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{BD}{DE}$，∵∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠BAD=∠DCE，
∠ABD=∠DEC=β，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．