Question

19．已知点M是锐角△ABC的外心，线段AM的延长线交边BC于点N，⊙O经过点A、M，分别交AB、AC于点D、E．
（1）如图1，当线段AM为⊙O的直径时，
①求证：DE∥BC；
②若AD=AE，∠BAC=60°，连接DN，求证：直线DN是⊙O的切线；
③若AD=AE，∠BAC=45°，BC=2$\sqrt{2}$a，用含a的式子表示AD²；
（2）如图2，连MD、ME，若△ABC是等边三角形，且四边形ADME的面积为3$\sqrt{3}$，试求AB的长．

Answer 1

分析 （1）①作出两圆的外公切线，利用弦切角和圆周角的关系即可得出∠AED=∠ACB，即可；
②先判断出AM平分∠BAC，AN⊥DE，进而得出∠DAN=30°，再求出∠DOI=60°，进而用含30°的直角三角形的性质判断出AD=ND，即可求出∠AND=30°，进而判断出∠DON+∠DNO=90°，即可得出结论．
③先判断出AN⊥BC，进而求出MN=BN=$\sqrt{2}$a，再用勾股定理得出AM=BM=2a，进而用勾股定理求出AB的平方，最后判断出AD=$\frac{1}{2}$AB代入即可；
（2）作出辅助线，先判断出四边形ADME的面积等于四边形AHMGA的面积，进而转化成三角形AMH的面积的2倍，再判断出HM=$\frac{1}{2}$AH，用面积公式求的AH=3，最后判断出AB=2AH即可得出结论．

解答 解：（1）①如图1，
∵线段AM为⊙O的直径，
∴⊙O，⊙M内切于点A，
过点A作⊙O，⊙M的外公切线PA，
在⊙O中，∠PAD=∠AED，
在⊙M中，∠PAD=∠ACB，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE∥BC，
  ②如图1-1，
∵AM是⊙O的直径，且AD=AE，
∴AM平分∠BAC，AN⊥DE，
∴∠DAN=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
连接OD，∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
在Rt△ODI中，∠DOI=2∠OAD=60°，
∴∠ODI=30°，
∴DI=$\sqrt{3}$OI，OA=OD=2OI，
∴AM=2OA=4OI，AI=OA+OI=3OI，
∴IM=AM-AI=4OI-3OI=OI，
∵M是△ABC的外心，
∴BM=AM=4OI，∠BMN=2∠BAN=60°，
∴∠MBN=30°，
在Rt△BMN中，MN=$\frac{1}{2}$BM=2OI，
∴NI=IM+MN=OI+2OI=3OI，
∴AI=NI，
∵DE⊥AN，
∴AD=DN，
∴∠DNI=∠DAI=30°，
∴∠NDI=60°，
∴∠ODN=∠ODI+∠NDI=90°，
∵D在⊙O上，
∴直线DN是⊙O的切线；
③如图2，连接DM，BM，
∵AM是⊙O的直径，且AD=AE，
∴AM平分∠BAC，AN⊥DE，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$a，∠DAN=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠ABN=90°-∠DAN=67.5°，
∵M是△ABC的外心，
∴∠BMN=2∠BAN=45°，
在Rt△BMN中，MN=BN=$\sqrt{2}$a，BM=$\sqrt{2}$BN=2a，
∴AM=BM=2a，
∴AN=AM+MN=2a+$\sqrt{2}$a=（2+$\sqrt{2}$）a，
在Rt△ABN中，AB²=AN²+BN²=[（2+$\sqrt{2}$）a]²+2a²=（8+4$\sqrt{2}$）a²，
连接DM，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ADM=90°，
∵AM=BM，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD²=（$\frac{1}{2}$AB）²=$\frac{1}{4}$AB²=$\frac{1}{4}$（8+4$\sqrt{2}$）a²=（2+$\sqrt{2}$）a²．
（2）∵点M是等边三角形ABC的外心，
∴AM=BM，AN⊥BC，AN平分∠BAC，
过点M作MH⊥AB，MG⊥AC，
∴MH=MG，
∵四边形ADME是⊙O的内接圆，
∴∠HDM=∠GEM，
在△DHM和△EGM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HDM=∠GEM}\\{∠DHM=∠EGM}\\{MH=MG}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△EGM，
∴S_△DHM=S_△EGM，
∴S_{四边形ADME}=S_{四边形AHMG}=2S_△AHM=2×$\frac{1}{2}$AH×HM=AH×HM=3$\sqrt{3}$，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴HM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AH，
∴AH×$\frac{\sqrt{3}}{3}$AH=3$\sqrt{3}$，
∴AH=3，
∵AM=BM，MH⊥AB，
∴AB=2AH=6．

点评 此题圆的综合题，主要考查了三角形的外接圆的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，切线的判定，解本题的关键是判断出AN垂直平分BC．